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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FÍSICA:

DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN AL TRATAMIENTO DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

Autores: GIL PÉREZ, D.1 y VALDÉS CASTRO, P.2

1 Departamento de Didáctica de las Ciencias. Universitat de València.

2 Departamento de Física. Instituto Superior Pedagógico de La Habana.

(Publicado en: Temas Escogidos de Didáctica de la Física, p. 37-59, 1996. Editiorial Pueblo y Educación: La Habana)

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INTRODUCCIÓN

La resolución de problemas de lápiz y papel constituye una de las tres actividades, junto a las prácticas de laboratorio y el tratamiento de conocimientos teóricos, a la que se concede mayor importancia en el proceso de enseñanza/aprendizaje de la física. Hay un acuerdo generalizado en que los problemas ayudan a reforzar y clarificar los principios que se enseñan y a desarrollar importantes habilidades y hábitos (MINED 1987, Bugaev, 1989...); algunos afirman que es a través de la resolución de problemas como mejor se aprende, ya que obliga constantemente a los estudiantes a poner sus conocimientos "en práctica" y favorece la motivación. La resolución de problemas es considerada, por otra parte, una eficaz vía para evaluar la comprensión por los estudiantes de los conceptos y leyes fundamentales (Kapitza 1985); más aún, en muchos países se organizan competiciones de física, -e incluso desde hace ya casi tres décadas se llevan a cabo las Olimpiadas Internacionales de Física- en las cuales se utiliza la resolución de problemas como el medio más idóneo para constatar el aprendizaje de esta ciencia.

 Y no obstante este papel central que se adjudica a los problemas en la enseñanza de la física, existe consenso entre los profesores, así como numerosos resultados de investigaciones, acerca de las graves dificultades que encuentra la mayoría de los estudiantes para su resolución (Gil, Mtnez-Torregrosa y Senent 1988). Muchos estudiantes sencillamente no saben como comenzar: se limitan a ensayar diversas fórmulas o simplemente a esperar la resolución del profesor. En todo caso, hay acuerdo sobre el hecho de que una gran parte de los estudiantes no son capaces de abordar problemas nuevos y se reconoce la posibilidad de resoluciones mecánicas, que lleven a la solución "correcta" sin que se haya comprendido la situación reflejada en el problema.

 No es de extrañar, pues, que la resolución de problemas se haya convertido, desde hace varios decenios, en una de las líneas prioritarias de investigación y constituya uno de los aspectos que más preocupa a los profesores de física. Sin embargo, este constante interés, que sigue actualmente vigente (véase a este respecto, por ejemplo, Gabel 1994), no ha producido mejoras sensibles en los resultados obtenidos por los estudiantes. En nuestra opinión ello podría ser debido a las orientaciones y supuestos básicos que priman en el profesorado y en una buena parte de la investigación que se realiza.

El presente trabajo pretende hacer avanzar en la didáctica de la resolución de problemas, cuestionando el pensamiento docente espontáneo y los supuestos que orientan muchas de las investigaciones que a este respecto se realizan. Intentaremos mostrar así, a la luz del modelo de enseñanza/aprendizaje expuesto en el capítulo de este libro, Tendencias actuales en la enseñanza/aprendizaje de la física, que es posible sentar la resolución de problemas de lápiz y papel sobre nuevas bases, transformándola en una actividad creativa e interesante para los estudiantes. Trataremos de mostrar, además, que la resolución de problemas de lápiz y papel y la realización de prácticas de laboratorio, pueden quedar fusionadas en una única actividad investigativa, rompiendo de este modo con la rígida distinción que comúnmente se establece entre estas dos actividades.

1. EL FRACASO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FÍSICA.

Una parte considerable de la investigación didáctica sobre resolución de problemas ha estado dirigida a mostrar las diferencias entre los expertos y los principiantes o, más en general, entre los buenos resolventes y los mediocres, con el objeto de establecer las características de una correcta resolución y extraer recomendaciones útiles para los estudiantes (Maloney 1994). Estas investigaciones se orientan por ciertos supuestos, y, más concretamente, responden a determinada concepción acerca de la naturaleza del proceso de resolución de problemas, los cuales conviene explicitar y analizar críticamente, considerándolos como hipótesis y no como algo incuestionable, evitando así que orienten la investigación en una única dirección, en ocasiones escasamente fructífera.

 Un primer supuesto que con frecuencia subyace en la pregunta "¿Qué diferencia un buen resolvente de otro mediocre?" es el de la responsabilidad individual de los estudiantes. (simplemente hay quienes resuelven bien los problemas y hay quienes no). En efecto, el fracaso se atribuye comúnmente a carencias de los estudiantes, lo que sin duda constituye una de las ideas claves en el "pensamiento espontáneo" del profesorado, que no suele cuestionar, en cambio, la didáctica de la resolución de problemas, ni mucho menos las características del proceso de enseñanza/aprendizaje en su conjunto; como si fuese posible que éstas y otras insuficiencias que afectan a la mayoría de los estudiantes, no tuviesen nada que ver con el tipo de enseñanza que se practica. Así, cuando se pregunta al profesorado en activo cuáles pueden ser las causas del fracaso generalizado en la resolución de problemas de física, un porcentaje significativo de los encuestados apunta como las únicas razones (Gil, Mtnez-Torregrosa y Senent 1988): falta de suficientes conocimientos teóricos, escaso dominio del aparato matemático y lectura no comprensiva del enunciado. Se trata, como puede verse, de razones que sólo cuestionan la preparación y actividad de los estudiantes.

 Una segunda suposición, frecuentemente implícita en la pregunta "¿Qué diferencia un buen resolvente de otro mediocre?", es la de que es posible extraer recomendaciones precisas acerca de cómo resolver bien los problemas y transmitirlas a los estudiantes como forma eficaz de ayuda. Este supuesto subyace en un gran bloque de la investigación realizada que -desde las clásicas propuestas de Polya (1975)- ha estado dirigida hacia la elaboración de algoritmos más o menos precisos. Se trata de un supuesto basado en el modelo de transmisión/recepción de conocimientos ya elaborados, modelo que hemos analizado críticamente en el capítulo de este libro al cual ya hemos hecho referencia en la introducción. Pero es quizás aquí, donde el fracaso de dicho modelo resulta más evidente, puesto que el grado de transferencia de la solución de unos problemas a la de otros es prácticamente nulo: los estudiantes se limitan simplemente a "reconocer" problemas ya resueltos o a abandonar.

La investigación didáctica se ha ocupado así, principalmente, del fracaso de los estudiantes al enfrentarse a los problemas (constantado dicho fracaso, investigando sus causas, elaborando recomendaciones...). Pero el análisis realizado hasta aquí sugiere ir más allá y preguntarse, ¿en qué medida lo que se enseña en las clases se aproxima a una auténtica resolución de problemas? Esta interrogante cuestiona las habituales orientaciones didácticas de profesores y libros de texto y responde a una hipótesis distinta a las anteriores: la de que un fracaso como el que se da en la resolución de problemas puede tener su origen en errores de planteamiento en el proceso de enseñanza/aprendizaje. Se trata de una hipótesis que dirige la atención hacia las actividades del profesorado y en la que subyace la idea de la importancia crucial que tiene una correcta dirección del proceso de enseñanza/aprendizaje.

 

Consideremos el siguiente ejercicio, propuesto en cursos para profesores en activo (España) y para estudiantes que se forman como profesores de física (Cuba), con el fin de estimularlos a cuestionar la didáctica habitual de resolución de problemas:

Un objeto se mueve a lo largo de su trayectoria según la ecuación: x = 25 + 40t - t2 (x en metros y t en segundos) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 5 segundos?

 La casi totalidad de profesores y estudiantes "resuelve" muy rápidamente el ejercicio, dando como respuesta, en general, 100m ó 75m. Sin entrar en la discusión de esta discrepancia, a continuación les proponemos que calculen la distancia recorrida por el móvil en 6 segundos. Los resultados obtenidos ahora (85m quienes antes obtuvieron 100m y 60m quienes obtuvieron 75m) muestran claramente que "algo va mal" (¡el móvil no puede haber recorrido en más tiempo menos distancia!). Tras una pequeña reflexión, tanto los profesores como los estudiantes comprenden que la ecuación x = 25 + 40t -5t2, corresponde al movimiento de un objeto que avanza con velocidad decreciente, hasta que se detiene y comienza a retroceder. Obtienen así los resultados corretos: 85m a los 5s (80m hacia delante y 5 hacia atrás) y 100m a los 6s. (80m hacia delante y 20 hacia atrás).

 Pero lo que nos interesa aquí es llamar la atención sobre el hecho de que un problema tan sencillo conduzca a resultados erróneos de forma muy generalizada. Ello es reflejo, desde nuestro punto de vista, de la orientación dada habitualmente a la resolución de problemas, caracterizada por:

-La falta de reflexión cualitativa previa, o, dicho de otro modo, el operativismo mecánico con que se abordan los problemas, incluso por los mismos profesores. Conviene recordar a este respecto las palabras de Einstein: "Ningún científico piensa con fórmulas. Antes que el físico comienze a calcular debe tener en su cerebro el curso de los razonamientos. Estos últimos, en la mayoría de los casos, pueden ser expuestos con palabras sencillas. Los cálculos y las fórmulas constituyen el paso siguiente". Sin embargo, insistimos, la didáctica habitual de resolución de problemas suele impulsar a un operativismo abstracto, carente de significado, que poco puede contribuir a un aprendizaje significativo.

 - Un tratamiento superficial que no se detiene en la clarificación de los conceptos. Así, en el problema considerado, se producen evidentes confusiones entre posición, desplazamiento y distancia recorrida. Y no se trata de una cuestión puramente terminológica de escasa importancia, sino índice, repetimos, de un tratamiento superficial que en poco puede favorecer una auténtica comprensión de los conceptos. Más aún: se manejan casi exclusivamente situaciones que favorecen las confusiones. La mayor parte de los problemas sobre móviles, por ejemplo, toman como orígenes de la posición y del tiempo (explícita, o, mas a menudo, implícitamente) el punto e instante en que el movimiento se inicia, con lo cual la posición del móvil al cabo de cierto tiempo coincide con su desplazamiento; si además no hay retrocesos, el valor de la distancia recorrida coincide también. La repetición de ejercicios con estas características lleva, no sólo a confundir los conceptos, sino incluso a hacer "innecesaria" la atención al sistema de referencia. El carácter relativo de todo movimiento es así escamoteado, negado en la práctica, por mucho que se haya insistido en él teóricamente.

 De este modo, los problemas, en vez de contribuir a un aprendizaje significativo, ayudando a romper con visiones confusas, favorecen su afianzamiento. Y ello ocurre incluso -o, mejor, sobre todo- cuando se llega a resultados correctos. Pensemos en los numerosos ejercicios sobre caída de graves que se realizan y que los alumnos llegan a hacer casi con los ojos cerrados: ello no impide que sigan pensando que "un cuerpo de doble masa caerá en la mitad de tiempo". Es decir, los problemas "correctamente" resueltos no han permitido poner en cuestión la idea ingenua de la influencia de la masa.

 

En resumen, los problemas, en lugar de ser ocasión privilegiada para construir y profundizar los conocimientos, muchas veces se convierten en refuerzo de errores conceptuales y metodológicos. Podría pensarse que hay mucha exageración en estas conclusiones; pero basta referirse a los abundantes análisis realizados sobre los problemas resueltos en los textos o por los profesores, para constatar que el operativismo, el tratamiento superficial -sin ni siquiera análisis de resultados- es realmente muy general entre el mismo profesorado (Bullejos 1983; Gil, Mtnez Torregrosa y Senent 1988). Reiteramos pues, que la didáctica habitual de resolución de problemas suele impulsar a un operativismo abstracto, que poco puede contribuir a un aprendizaje significativo, ni a familiarizar a los estudiantes con las estrategias del trabajo científico.

 2. NECESIDAD DE UN REPLANTEAMIENTO EN PROFUNDIDAD

 Hemos hecho referencia ya al papel determinante -por cierto, no siempre positivo- que en la orientación de toda investigación desempeñan las concepciones y supuestos que en ella subyacen. En efecto, las mayores dificultades que a menudo ha encontrado el desarrollo de una ciencia han derivado de supuestos implícitos, aceptados sin cuestionamiento alguno, escapando así a la crítica. En tales casos se impone -como la historia de las ciencias ha mostrado reiteradamente- un replanteamiento en profundidad que analice críticamente hasta lo más obvio. Por lo que se refiere a la didáctica de la resolución de problemas, ello implica descender hasta la clarificación misma de la idea de problema. Conviene así preguntarse:

 ¿Qué hemos de entender por problema?

 Existe un acuerdo generalizado entre los investigadores que han abordado esta cuestión, en caracterizar como problemas aquellas situaciones que plantean dificultades para las que no se poseen soluciones hechas (Rubinstein 1966, Galperin 1982, MINED 1987, Razumovski 1987, Gil et al. 1991, Valdés y Valdés 1993...). Algunos autores insisten justamente en el hecho de que la existencia de dificultades no es una característica intrínseca de una situación y que depende también de los conocimientos, experiencia, etc., de los individuos. Hay en estas ideas una primera fuente para la comprensión de los resultados tan negativos alcanzados en la enseñanza habitual. Nos plantearemos por ello la relación entre dichas ideas y la práctica habitual de la resolución de problemas:

 ¿En qué medida las explicaciones de los problemas realizadas por los profesores o expuestas en los libros de texto están de acuerdo con su naturaleza de tarea desconocida, para la que de entrada no se posee solución?

Una pregunta como ésta pone totalmente en cuestión la práctica docente habitual; en efecto, los profesores de física suelen explicar los "problemas" como algo que se sabe hacer, como algo cuya solución se conoce y que no genera dudas ni exige tentativas: el profesor conoce la situación -para él no es un problema- y la explica linealmente, "con toda claridad"; consecuentemente, los alumnos pueden aprender dicha solución y repetirla ante situaciones idénticas, pero no aprenden a abordar un verdadero problema y cualquier pequeño cambio les supone dificultades insuperables provocando el abandono. En definitiva, este análisis en torno a qué entender por problema sugiere dar un paso más y preguntarse:

 

Si un problema es una situación para la que no se tiene respuesta elaborada, ¿cómo habrá que enfocar su resolución?

 

Si se acepta la idea de que todo problema es una situación ante la cual se está inicialmente perdido, una posible orientación consistiría en preguntarse ¿qué hacen los científicos en este caso? Con ello planteamos muy concretamente qué es lo que hacen los científicos delante de lo que para ellos constituye un verdadero problema y no ante un enunciado de lápiz y papel como los que se incluyen en los libros de texto. Se puede esperar, en efecto, que delante de problemas de lápiz y papel los científicos -que son a menudo profesores- adopten actitudes características de la enseñanza habitual y consideren los problemas como situaciones que se debe saber resolver y no como verdaderos problemas. En este sentido, los estudios sobre la manera en que los "expertos" abordan los problemas de lápiz y papel estarían todavía muy lejos de lo que supone enfrentarse a un verdadero problema. Es pues más útil preguntarse qué es lo que los científicos hacen cuando tienen que habérselas con auténticos problemas para ellos. La respuesta en este caso es "simplemente" que... se comportan como investigadores.

 

Y si bien es verdad que expresiones como investigación, metodología científica o método científico (con o sin mayúsculas) no tienen una clara significación unívoca, traducible en etapas precisas, resulta indudable que toda investigación científica posee ciertas características generales -las cuales hemos intentado reflejar en los cuadros 2 y 3 del cápitulo ya mencionado Tendencias actuales en la enseñanza/aprendizaje de la física- que habría que tener en cuenta también en el tratamiento de los problemas: análisis cualitativo inicial, emisión de hipótesis que orienten la búsqueda de la solución, elaboración de estrategias de resolución, etc. Cabe pues preguntarse cuál es la razón de que ello no ocurra. Ésta es un cuestión compleja, cuya respuesta tiene múltiples aspectos, que van desde el hecho de que para los autores de texto y profesores los problemas considerados en la docencia no constituyen tales problemas -en la medida en que ellos conocen los procedimientos de resolución- sino meros ejercicios, hasta la concepción érronea que subyace en la práctica de la docencia, de que el razonamiento es un proceso sintáctico, de aplicación de reglas, ecuaciones. Pero un primer paso, no obstante decisivo, en la modificación de estas concepciones y actitudes consistiría en transformar los enunciados habituales de los problemas.

 

¿Qué es lo que en los enunciados habituales dificulta un tratamiento científico de los problemas y deja, en particular, sin sentido a la tarea fundamental de emisión de hipótesis?

 

El paso a dar no es, ciertamente, fácil; sin embargo, el hilo conductor seguido hasta aquí permite concebir que la inclusión de los datos en el enunciado como punto de partida, respondiendo a concepciones inductivistas, orienta la resolución hacia el manejo de unas determinadas magnitudes sin que ello responda a una reflexión cualitativa ni a las subsiguientes hipótesis. De este modo, al resolver un problema, el alumno se ve estimulado a buscar aquellas ecuaciones que pongan en relación los datos e incógnitas proporcionados en el enunciado, cayendo así en un puro operativismo. No basta, pues, denunciar dicho operativismo: se trata de hacerlo imposible atacando sus causas. La comprensión de que la presencia de los datos en el enunciado y la indicación de todas las condiciones existentes -todo ello como punto de partida- responde a concepciones inductivistas y orienta incorrectamente la resolución, constituye un paso esencial en el desbloqueo de la enseñanza habitual de problemas y sus limitaciones. Pero al mismo tiempo genera desconcierto, porque choca con la práctica reiterada, con lo que "siempre" se ha hecho. Un enunciado sin datos, se señala, ¿no será algo excesivamente ambiguo frente a lo cual los alumnos acaben extraviándose?. Ahora bien, la ambigüedad, o, dicho con otras palabras, las situaciones abiertas, ¿no son acaso una característica esencial de las situaciones genuinamente problemáticas?. ¿Y no es también una de las tareas fundamentales del trabajo científico acotar los problemas abiertos, imponer condiciones simplificatorias?

 

Dos dificultades suelen apuntarse durante esta discusión: la primera se refiere a la posibilidad de eliminar los datos y precisiones de los enunciados habituales y construir enunciados más abiertos capaces de generar una resolución acorde con las características del trabajo científico. A este respecto, el trabajo realizado en numerosos talleres y cursos de perfeccionamiento del profesorado ha permitido constatar que los enunciados habituales son "traducibles" sin dificultad (Gil et al 1992, 1993 y 1994). Así, por ejemplo, el enunciado habitual:

 

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s, en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s2. ¿Qué altura máxima alcanzará?

 

puede ser transformado en el enunciado más abierto:

 

Se lanza un cuerpo hacia arriba, ¿qué altura alcanzará?

 

Se trata, como puede apreciarse, de una ligera modificación del enunciado anterior, pero en el que ahora no se indican cuáles son las magnitudes relevantes y que, por tanto, exige a los estudiantes generar información, acotar la situación...

 

La segunda dificultad que se señala en relación con la transformación de los problemas habituales en problemas sin datos, abiertos, es la de cómo orientar a los alumnos para abordar dichas situaciones, puesto que no basta, obviamente, con enfrentarles a enunciados sin datos para lograr una actividad exitosa:

 

¿Qué orientaciones convendría proporcionar a los estudiantes para facilitar el aborde de situaciones problemáticas abiertas?

 

La cuestión de qué orientaciones proporcionar a los alumnos para abordar la resolución de problemas sin datos (en los que ya no es posible el simple juego con ellos, con las fórmulas e incógnitas) conduce a elaborar propuestas como las que se enuncian a continuación, coincidentes con las ideas expuestas en los cuadros 2 y 3 del capítulo Tendencias actuales en la enseñanza/aprendizaje de la física, y que en conjunto suponen un modelo de resolución de problemas como investigación:

 

 

Aspectos esenciales en la resolución de problemas como investigación

 

 

* Considerar cual puede ser el interés de la situación problemática abordada

 

 

* Realizar un estudio cualitativo de la situación, intentando acotar y definir de manera precisa el problema, explicitando las condiciones que se consideran reinantes, etc.

 

 

* Emitir hipótesis fundadas sobre los factores de los que puede depender la magnitud buscada y sobre la forma de esta dependencia, imaginando, en particular, casos límite de fácil interpretación física.

 

 

* Elaborar y explicitar posibles estrategias de resolución antes de proceder a ésta, evitando el puro ensayo y error. Buscar distintas vías de resolución para posibilitar la contrastación de los resultados obtenidos y mostrar la coherencia del cuerpo de conocimientos de que se dispone.

 

 

* Realizar la resolución verbalizando al máximo, fundamentando lo que se hace y evitando, una vez más, operativismos carentes de significación física.

 

 

*Analizar cuidadosamente los resultados a la luz de las hipótesis elaboradas y, en particular, de los casos límite considerados.

 

 

* Considerar las perspectivas abiertas por la investigación realizada, contemplando, por ejemplo, el interés de abordar la situación a un nivel de mayor complejidad, sus implicaciones teóricas (profundización en la comprensión de algún concepto) o prácticas (posibilidad de aplicaciones técnica,s), la posibilidad de contrastar experimentalmente los resultados obtenidos. Concebir, muy en particular, nuevas situaciones a investigar, sugeridas por el estudio realizado.

 

 

* Elaborar una memoria que explique el proceso de resolución y que destaque los aspectos de mayor interés en el tratamiento de la situación considerada.

Incluir, en particular, una reflexión global sobre lo que el trabajo realizado puede haber aportado, desde el punto de vista metodológico u otro, para incrementar la competencia de los resolventes.

 

 

 

Debemos remarcar, sin embargo, que las orientaciones precedentes no constituyen un algoritmo que pretenda guiar paso a paso la actividad de los estudiantes. Muy al contrario, se trata de indicaciones genéricas destinadas a llamar la atención contra ciertos "vicios metodológicos" connaturales: la tendencia a caer en operativismos ciegos o a pensar en términos de certeza, lo que se traduce en no pensar en posibles caminos alternativos de resolución o en no poner en duda y analizar los resultados, etc.

 

Con el fin de precisar y de desarrollar los diferentes aspectos considerados en el cuadro anterior, a continuación abordaremos el proceso de resolución del problema relativo a la altura que alcanzará un cuerpo que se lanza hacia arriba, enunciado anteriormente.

 

 

 

3. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FÍSICA COMO INVESTIGACIÓN DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS ABIERTAS: UN EJEMPLO ILUSTRATIVO.

 

Aunque cualquier problema cerrado de los incluídos habitualmente en los cursos de física de la Educación Media o Universitaria, puede ser transformado en una situación problemática abierta y abordarse siguiendo el modelo de investigación que acabamos de exponer, hemos centrado la atención en un problema muy común y particularmente "pobre", para mostrar que hasta los ejercicios más simples son susceptibles de dar lugar a una actividad investigativa creativa. Concretamente, transcribiremos el trabajo de estudiantes de Educación Media a los que se propone la situación: Se lanza un cuerpo hacia arriba, ¿qué altura alcanzará?, que constituye, como ya hemos indicado, una modificación del enunciado habitualmente planteado a los estudiantes. La transcripción no será, por supuesto, literal, sino una síntesis de las aportaciones realizadas por distintos grupos de estudiantes, luego de su puesta en común bajo la dirección del profesor.

 

* Considerar cuál puede ser el interés de la situación problemática abordada.

 

Las ideas que surgen entre los estudiantes casi siempre están relacionadas con cuestiones de artillería y, en ocasiones, con alguna situación familiar, como la de devolver a un balcón un cuerpo que ha caído desde él, o competir a lanzar un objeto hacia arriba con el fin de comprobar quien logra una mayor altura, etc.; el profesor puede referirse, si los estudiantes no lo han hecho aún, a la relación que tiene este problema con la puesta en órbita de satélites y naves espaciales, etc. Queremos puntualizar, no obstante, que lo esencial no es que los estudiantes sean capaces de dar abundantes y valiosos argumentos sobre el interés de la situación planteada, sino que se modifique la actitud con que enfocan la tarea, haciéndola más relevante, menos "ejercicio escolar".

 

Conviene insistir en la importancia de esta reflexión previa: una orientación investigativa como la que aquí se propone es incompatible con la inmersión de los estudiantes en una tarea cuya finalidad y sentido se les escape. Además de proporcionar una concepción preliminar y de favorecer una actitud más positiva hacia la tarea, esta discusión permite una aproximación funcional a las relaciones Ciencia/Técnica/Sociedad, que continuan siendo, pese a reconocerse su importancia, uno de los aspectos más generalmente olvidados.

 

* Realizar un estudio cualitativo de la situación, intentando acotar y definir de manera precisa el problema, explicitando las condiciones que se consideran reinantes, etc.

 

Cabe señalar que esto es lo que hacen habitualmente los expertos ante un verdadero problema y lo que en ocasiones se recomienda, sin demasiado éxito. Pero los alumnos, ahora, se ven obligados a realizar dicho análisis cualitativo: no pueden evitarlo lanzándose a operar con datos e incógnitas, porque no disponen de ellos. Necesariamente han de imaginar la situación física, generar nueva información que en el enunciado abierto que se les propone no está disponible, tomar decisiones para acotarla, explicitar qué es lo que se trata de determinar, etc. Y es preciso dedicarle a este análisis la atención que merece; muchos científicos consideran que el surgimiento de la idea de resolución del problema que tienen ante sí, la intuición del camino a seguir, se apoya no sólo en la información que se tiene de la situación investigada y en determinada experiencia, sino también, en una intensa, variada y prolongada familiarización con dicha situación, en la que ésta se analiza multilateralmente, desde diferentes perspectivas .

 

En particular, entre las posibles consideraciones que hacen los estudiantes mínimamente familiarizados con la situación correspondiente a un cuerpo que es lanzado hacia arriba, están las que presentamos resumidamente a continuación, y que en lo adelante denominaramos A y B:

 

A) El cuerpo fue lanzado verticalmente y lleva ya cierta velocidad que, debido a la atracción gravitatoria, va disminuyendo, hasta detenerse (precisamente en el punto más alto de su trayectoria); a partir de aquí comienza a descender. Supondremos, además, que el rozamiento con el aire es despreciable.

 

B) El cuerpo está en reposo y sobre él actúa una fuerza que consideramos constante -además de la gravitatoria- durante determinado trayecto, debido a lo cual adquiere cierta velocidad; después...

 

La concepción inicial de la situación condiciona, como veremos, el resto del proceso de resolución del problema. Debemos admitir, sin embargo, que mientras que los enunciados habituales sólo contemplan la primera de las situaciones, a menudo los estudiantes tienden a reflexionar a partir del cuerpo en reposo, con lo que sus conocidas intuiciones acerca de la influencia de la masa tienen el sólido fundamento de las reiteradas experiencias de lanzamiento en la vida cotidiana. Pensasmos, por ello, que resulta conveniente proceder al doble tratamiento de la situación, estimulando a los estudiantes a obtener la altura máxima tanto a partir del instante en que el objeto queda libre con una cierta velocidad, como a partir de la situación inicial de reposo. Esto posibilita, como intentaremos mostrar, que comprendan mejor la cuestión de la influencia de la masa del cuerpo y, sobre todo, que tengan una experiencia muy enriquecedora sobre lo que supone la búqueda de coherencia en el trabajo científico.

 

* Emitir hipótesis fundadas sobre los factores de los que puede depender la magnitud buscada y sobre la forma de esta dependencia, imaginando, en particular, casos límite de fácil interpretación física.

 

Comenzaremos por centrar la atención en la primera de las formas de representarse la situación y luego pasaremos a la segunda.

 

A) Planteamiento de hipótesis considerando que el cuerpo ha sido lanzado y tiene ya cierta velocidad.

 

A partir del análisis cualitativo realizado, los estudiantes formulan hipótesis acerca de los factores de que depende la altura alcanzada por el cuerpo. En particular, la experiencia cotidiana, así como algunas posibles experiencias de lanzamiento que se lleven a cabo especialmente en el aula durante el análisis de la situación, conducen a la hipótesis de que mientras mayor sea la velocidad con que se lanza el cuerpo, mayor será la altura alcanzada; por otra parte, los estudiantes razonan que mientras mayor sea la intensidad de la gravedad, más rápidamente se verá frenado el cuerpo y, por consiguiente, menor será la altura alcanzada. Cabe señalar, que la consideración acerca de la influencia de la intensidad de la gravedad, que en época anterior a Newton resultaba prácticamente imposible, por considerarse constante, es hoy perfectamente viable; en la actualidad los estudiantes están familiarizados con la idea de que la atracción gravitatoria depende de la distancia a la Tierra y que difiere de un planeta a otro. Tal análisis tiene interés, por otra parte, no sólo desde el punto de vista de sus implicaciones teóricas, sino también prácticas: no se requiere la misma velocidad -y en consecuencia tampoco la misma energía- para lanzar un cuerpo al espacio desde la superficie de la Tierra, que desde un lugar ya alejado de ella, o desde otro cuerpo celeste.

 

Este proceso de formulación de hipótesis puede profundizarse con la consideración de algunos "casos límite" de especial interés. Así, los estudiantes razonan que, en el caso de que la intensidad de la gravedad se hiciera nula, el cuerpo no frenaría y continuaría alejándose indefinidamente. Dicho de una forma operativa, ello implica que si g® 0, la altura máxima hmáx® 0. Esta es una predicción "fuerte" que el resultado que se obtenga deberá satisfacer; del mismo modo, si vo = 0, la altura también lo será, etc.

 

Como vemos, la construcción de hipótesis se convierte así en una ocasión privilegiada de reflexión física, de análisis significativo de las situaciones, con una capacidad formativa muy superior a la de los habituales tratamientos puramente operativos.

 

Por supuesto, con frecuencia los estudiantes también se refieren a otros factores, como el tiempo que el cuerpo está ascendiendo y la masa de éste. En relación con el primero de ellos, es necesario esclarecer que, si bien es cierto que entre el tiempo de ascenso y la altura máxima existe una relación directa, ambos -y no sólo la altura alcanzada- están determinados por la velocidad inicial y la intensidad de la gravedad.

 

Recordemos, una vez más, que en este primer modo de abordar el problema hemos optado, como es tradicional, por acotar la situación suponiendo que el cuerpo lleva ya cierta velocidad. Por eso, algunos estudiantes, basándose en la idea ya estudiada de que todos los cuerpos que se dejan caer desde una misma altura llegan al suelo con igual velocidad, intuyen que en el caso inverso -es decir, cuando son lanzados verticalmente hacia arriba con igual velocidad- alcanzarán la misma altura y que, por tanto, ésta no depende de la masa. Sin embargo, al intentar argumentar esta intuición suelen surgir algunas dificultades. En efecto, si los estudiantes realizan un análisis parcial de la situación y, como es frecuente, relacionan la masa sólo con la atracción gravitatoria, entonces llegarán a la conclusión errónea de que mientras mayor sea la masa del cuerpo menor será la altura que él alcanza. Por consiguiente, es necesario esclarecer, ahora, o posteriormente durante el análisis de los resultados, que mayor masa significa mayor fuerza de frenado (mg), pero, al propio tiempo, mayor dificultad para dicho frenado (a = F/m). En relación con esto los estudiantes pueden recordar que, en ausencia de fricción con el aire, todos los cuerpos -con independencia de sus masas- caen con la misma aceleración cerca de la superficie de la Tierra, precisamente debido a que la fuerza de gravedad crece con la masa en la misma proporción que lo hace la inercia de ellos.

 

Luego de una discusión como la anterior las hipótesis formuladas pueden resumirse, simbólicamente, del modo siguiente:

 

hmáx­ = f(vo­ , g¯ , ¿m?)

 

Una dificultad suplementaria en el análisis de la situación anterior radica en que toda nuestra experiencia está relacionada con el lanzamiento de cuerpos desde el reposo, y en estos casos queda muy claro que la altura alcanzada depende de la masa (¡No podemos hacer llegar tan alto una roca como una pequeña piedra!). De ahí la conveniencia, ya señalada, de abordar el análisis de la segunda forma de representarse la situación.

 

B) Planteamiento de hipótesis considerando el movimiento del cuerpo a partir de su posición de reposo.

 

Para concretar en este caso las ideas podemos solicitar a los estudiantes que piensen -si aún no lo han hecho- en la situación en que ellos mismos lanzan verticalmente hacia arriba un cuerpo, y a continuación pedirles que formulen hipótesis acerca de los posibles factores de que depende la altura que él alcanza. Los estudiantes relacionan así dicha altura, no sólo con la masa del cuerpo y la intensidad de la gravedad, sino también con la fuerza externa al sistema cuerpo-Tierra Fext, aplicada sobre él (p.e., la fuerza de la mano) y la distancia ho que recorre bajo la acción de dicha fuerza. Y de nuevo, si se les impulsa a ello, conciben casos límite interesantes. Pueden señalar, p.e., que si Fext - mg ® 0 (es decir, si la fuerza exterior iguala a la fuerza de gravedad), la altura podrá llegar a valer, como máximo, ho. Ello lleva, además, a explicitar que el problema planteado carece de sentido para valores de la fuerza exterior inferiores a la fuerza de gravedad mg, lo que afecta a la forma en que se acotó la situación problemática, añadiendo una nueva condición.

 

En este caso las hipótesis planteadas por los estudiantes se resumen como sigue:

 

hmáx­ = f(m¯ , Fext­ , g¯ , ho­ )

Esta actividad de emisión de hipótesis hace que los estudiantes expliciten sus concepciones, permitiéndonos incidir sobre ellas, al tiempo que se precisan y desarrollan múltiples aspectos del cuerpo de conocimientos en construcción. Por otra parte, queda evidenciado que son dichas hipótesis, a la luz de la visión cualitativa que se tiene de la situación, las que determinan lo que debe considerarse datos para la resolución del problema (en un caso vo y g, en el otro m, Fext, g y ho), en contraposición con la práctica usual de tomar éstos como punto de partida.

 

* Elaborar y explicitar posibles estrategias de resolución antes de proceder a ésta, evitando el puro ensayo y error.

 

Como hemos visto, el tipo de enunciado que proponemos hace ya imposible un simple manejo de datos e incógnitas, gracias a la ausencia de los primeros, pero ahora, al solicitar la elaboración de estrategias se insiste en la necesidad de tener una visión clara de lo que se intenta resolver y cómo hacerlo. Los conocimientos de que se dispone desempeñan en ello un importante papel; así, una premisa para lograr la transferencia de los conocimientos al análisis de nuevas situaciones es que éstos posean determinado nivel de abstracción y generalización (Talízina 1988). Esto permite prescindir de las especificidades que caracterizan toda situación concreta (p.e., un carrito que desciende por un plano inclinado, una esfera que se mueve verticalmente hacia arriba, etc.) y representarse una situación genérica, al tiempo que se resaltan sus aspectos esenciales (p.e., que el movimiento de un cuerpo que se ha lanzado cerca de la superficie de la Tierra siempre se realiza con aceleración constante, independientemente de las condiciones iniciales; que durante los cambios del sistema cuerpo-Tierra la energía mecánica se conserva, etc.). La esquematización de la situación mediante un dibujo y la representación de sus aspectos esenciales en forma de ecuaciones, constituyen recursos especiales que ayudan a realizar la abstracción y generalización y que, por consiguiente, también facilitan la transferencia de los conocimientos.

 

Es conveniente precisar, no obstante, que las estrategias de resolución no derivan automáticamente del cuerpo de conocimientos teóricos, sino que son construcciones tentativas, que parten del análisis cualitativo realizado, de las hipótesis inicialmente formuladas y de los conceptos teóricos que se tienen, pero que exigen continuados ensayos, en un complejo proceso en que la situación real se coteja con la genérica y se van imponiendo a esta última determinadas condiciones. Estas características que tiene la búsqueda de las estrategias de resolución, son, como veremos, análogas a las de los diseños prácticos en los problemas que exigen una contrastación experimental.

 

Esta característica tentativa, de ensayo, que tiene la construcción de las estrategias de resolución, hace que resulte útil la búsqueda de diferentes vías de solución, lo que contribuye a contrastar los resultados obtenidos por distintos caminos, a verificar la coherencia del cuerpo de conocimentos de que se dispone y también, a una comprensión más profunda de la situación y de los conceptos utilizados para interpretarla. En particular, en el caso que nos ocupa la resolución puede enfrentarse desde los puntos de vista dinámico y energético. Describiremos pues, las posibles estrategias elaboradas por los estudiantes, tanto dinámicas como energéticas, correpondendientes a cada uno de los dos modos ya analizados, A y B, de representarse la situación.

 

A) Estrategias de resolución considerando que el cuerpo ha sido lanzado y tiene ya cierta velocidad.

 

En este modo de representarse la situación, una posible estrategia de resolución es la que está basada en la comprensión del movimiento como un movimiento rectilíneo con aceleración constante. En consecuencia, la ecuación de la posición en función del tiempo, x = f(t), puede precisarse teniendo en cuenta que: el movimiento se realiza a lo largo de una recta vertical y por tanto es suficiente con plantear la ecuación escalarmente; se trata de un movimiento uniformemente acelerado; se escogen los orígenes de coordenada y del tiempo en el punto e instante en que la fuerza externa ejercida sobre el cuerpo deja de actuar, es decir, de modo que para t = 0, x = 0 y v = vo; el sentido de esta velocidad inicial es contrario al de la aceleración. La ecuación obtenida al tener en cuenta las condiciones anteriores,

 

x = vot - 1/2gt2,

 

refleja, en correspondencia con las hipótesis formuladas inicialmente, que la posición del cuerpo y, por tanto, la altura que él alcanza, dependen de la velocidad inicial vo y de la intensidad de la gravedad g; pero en dicha ecuación también aparece el tiempo, que según el análisis cualitativo ya realizado no determina la altura máxima. Esto sugiere intentar encontrar el tiempo de ascenso a partir de la ecuación de la velocidad,

 

v = vo - gt,

 

para luego sustituirlo en la ecuación de la posición. Para ello puede tenerse en cuenta que en el instante en que el cuerpo alcanza la altura máxima se cumple que v = 0. De este modo se arriba al resultado:

 

hmáx = vo/2g

 

Otra posible forma de resolución consiste en emplear el principio de conservación de la energía para analizar los cambios que tienen lugar en el sistema constituído por el cuerpo y la Tierra. Teniendo en cuenta que el rozamiento con el aire se ha considerado despreciable, puede plantearse la ecuación Ep =DEc + D 0. Y puesto que la variación de la energía cinética de la Tierra es despreciable en comparación con la del cuerpo que asciende, es posible asociar dicha variación sólo a éste último. En consecuencia, se obtiene directamente una relación en la que figuran la velocidad inicial del cuerpo y la altura máxima alcanzada por éste:

 

(0 - 1/2 mvo2) + (mghmáx - 0) = 0,

 

de donde se llega al mismo resultado anterior.

 

B) Estrategias de resolución considerando el movimiento del cuerpo a partir de su posición de reposo.

 

En este caso el análisis de la situación desde el punto de vista dinámico, conduce a los estudiantes a considerar el movimiento en dos partes: una, que va desde la posición en reposo del cuerpo hasta que deja de actuar la fuerza externa y otra, que abarca desde aquí, hasta el momento en que el cuerpo alcanza la altura máxima. De este modo, en esta estrategia la altura máxima alcanzada aparece como la suma de las distancias recorridas en cada una de las partes consideradas.

 

Cabe destacar que la estrategia basada en el punto de vista energético no precisa considerar el movimento del cuerpo en dos partes y puede, además, ofrecer una vía de resolución muy rápida y directa. Así, si se considera el recorrido completo del cuerpo, desde su posición de reposo hasta alcanzar la altura máxima, entonces el trabajo de la fuerza externa al sistema cuerpo-Tierra es igual a la variación de la energía mecánica entre el estado inicial y el estado final del recorrido. Pero puesto que el cuerpo parte de un estado en que su velocidad es cero y al alcanzar la altura máxima su velocidad también es cero, la variación de su energía cinética al pasar de un estado al otro también es nula, con lo cual EpDWext = .

 

En ambos enfoques -dinámico y energético- está presente la dificultad de que, cualquiera que sea el origen de la fuerza externa (la acción de la mano, de un resorte, de los gases producidos por la pólvora inflamada, etc.), en la práctica su valor no suele ser constante. Si durante el análisis cualitativo inicial esta cuestión no se discutió detenidamente, ahora es el momento de hacerlo. Que la fuerza no sea constante significaría, concretamente, que no podrían utilizarse las conocidas ecuaciones cinemáticas para el movimiento con aceleración constante, ni tampoco expresarse el trabajo de la fuerza externa al sistema cuerpo-Tierra, sencillamente como producto de fuerza por distancia. Por consiguiente, o se construyen nuevos conceptos y procedimientos que permitan resolver a fondo esta dificultad, o el problema debe ser simplificado sustituyendo la fuerza externa variable por una fuerza media. Si se asume esta simplificación, entonces

 

Fextho = mghmáx,

 

de donde se obtiene que

hmáx = Fextho / mg

 

Aunque en el problema que estamos analizando el proceso de elaboración de las estrategias de resolución es obviamente simple, el resumen realizado muestra que, aún en tales casos, dicho proceso no se restringe a una sencilla aplicación de ecuaciones y que, en cambio, se caracteriza por una estrecha interacción entre las hipótesis, el sistema de conceptos que se posee y las ecuaciones de que se dispone, interacción en que las hipótesis ejercen un decisivo papel orientador. En otros casos, en que el proceso es más complejo no queda excluída una rectificación de las estrategias elaboradas, e incluso, su replanteamiento total.

 

Es preciso insistir en que la petición de una elaboración previa de las estrategias de resolución está dirigida a evitar una actividad próxima al simple "ensayo y error", pero que no pretende imponer un proceso rígido: los estudiantes (y los científicos) conciben a menudo dichas estrategias durante el propio proceso de resolución, no estando exentos de tener que volver atrás a buscar otro camino. En todo caso, lo esencial es que las estrategias estén fundamentadas y claramente explicadas -previamente o a medida que se avanza- lo que exige verbalización y se aleja de los tratamientos operativos tan frecuentes en la práctica de la enseñanza. Ello requiere también una resolución literal hasta el final, lo cual permite que el tratamiento se mantenga próximo a los principios manejados y además facilita el análisis de los resultados, ya que los factores considerados como relevantes aparecen explícitamente, lo que no ocurre, evidentemente, en el caso de que durante el proceso de resolución se vayan sustituyendo las variables por valores numéricos concretos.

 

Resumiendo, los estudiantes arriban, tanto a partir de consideraciones dinámicas como energéticas, a los siguientes resultados:

 

A) cuando consideran la situación en que el cuerpo fue lanzado y lleva ya cierta velocidad:

 

hmáx = vo2/2g;

 

B) al abordar el movimento a partir de la posición de reposo del cuerpo:

 

hmáx = Fextho/ mg.

 

 

* Analizar cuidadosamente los resultados a la luz de las hipótesis elaboradas y, en particular, de los casos límite considerados.

 

En la mayoría de las propuestas relativas a la resolución de problemas se incluye el análisis de los resultados obtenidos (MINED 1987, Bugaev 1989...). A veces incluso se sugiere plantearse preguntas como las siguientes: ¿Es razonable el valor de la respuesta? ¿Está expresada en las unidades correctas? ¿Se ajusta a lo que cabría esperar en situaciones particulares? ¿Se arriba al mismo resultado utilizando diferentes vías de resolución?... Sin embargo, entre estas sugerencias no es usual encontrarse la de verificar las hipótesis avanzadas al principio de la resolución con el fin de orientarla y dirigir la búsqueda. Cabe preguntarse, una vez más, por qué ese paso lógico y aparentemente tan sencillo no se da. En nuestra opinión, la razón de ello estriba en el hecho de aceptar, sin cuestionarlo, el tipo habitual de enunciado y la orientación didáctica asociada al mismo, consistente en "desproblematizar" los problemas.

 

El paralelismo establecido entre resolución de un problema y proceso de investigación permite reconsiderar, no obstante, la importancia que ha de concederse al análisis de los resultados. Este constituye un aspecto esencial en el aborde de todo verdadero problema y supone, sobre todo, su constrastación con relación a las hipótesis emitidas y al corpus de conocimentos. Así, en el problema que estamos analizando, los estudiantes pueden ver verificadas sus hipótesis (la influencia sobre hmáx de vo y g, si se considera la situación en que el cuerpo ya tiene cierta velocidad, y de m, Fext, g y ho, cuando el movimiento se analiza desde la posición de reposo del cuerpo) o incluso desmentidas (supuesta influencia del tiempo, de la masa en el caso de la situación A, etc.).

 

Pero el análisis debe ir más allá, comprobando si las relaciones de dependencia que se avanzaron al formular las hipótesis se cumplen y si los resultados contemplan situaciones límite conocidas, por obvias, y que sirvieron de base al proceso de formulación de las hipótesis (g = 0, m ® ¥ , F = 0, etc.). Por otra parte, la obtención de idénticos resultados mediante dos o más vías, por ejemplo en este caso las vías dinámica y energética, constituye también una prueba de su validez, al tiempo que contribuye, como ya hemos señalado, a mostrar la coherencia y funcionalidad del cuerpo de conocimientos teóricos de que se dispone.

 

En el caso de este problema, conviene detenerse especialmente en contrastar los resultados, en apariencia totalmente diferentes y sin relación, correspondientes a los dos modos de representarse la situación: el A, en el cual se supone que el cuerpo ha sido lanzado y tiene ya cierta velocidad (hmáx = vo2/2g) y el B, en que el ascenso del cuerpo se considera desde su posición de reposo (hmáx = Fextho / mg). La única magnitud común en ambos resultados es la intensidad de la gravedad; además, en el segundo interviene la masa del cuerpo, cuya influencia o no sobre la altura máxima, repetimos, es una cuestión particularmente discutida por los estudiantes. Por eso, la posibilidad de pasar de un resultado a otro muestra, de un modo muy sugerente, la profunda relación que existe entre unos y otros conceptos y, en definitiva, el carácter de cuerpo coherente de conocimientos que posee la mecánica.

 

En particular, en la ecuación correpondiente a la situación B, el producto Fextho representa el trabajo de la fuerza externa al sistema cuerpo-Tierra, que como ya se ha analizado, es igual a la variación de la energía mecánica de dicho sistema. Por consiguiente, si se tienen en cuenta los estados inicial y final correspondientes a la parte del movimiento en que actúa la fuerza externa, entonces dicho producto puede escribirse:

 

Fextho = mgho + mvo2/2,

 

con lo que la solución para la situación B adopta la forma:

 

hmáx = (mgho + mvo2/2) / mg

 

y, finalmente:

hmáx = ho + vo2/2g.

 

Un simple análisis pone de manifiesto que esta solución es idéntica a la obtenida para la situación A, si en esta última la altura máxima se expresa considerando el origen de coordenada en la posición de reposo del cuerpo. Esto pone de manifiesto la plena coherencia que hay entre los resultados correspondientes a los dos modos de representarse la situación y, por otra parte, permite profundizar en la cuestión relativa a la influencia de la masa del cuerpo en la altura máxima alcanzada.

 

En efecto, del mismo modo que en la caída libre de un cuerpo, en la que sólo actúa la fuerza de gravedad, su mayor o menor masa no determina las características del movimiento (si se desprecia la fricción con el aire), en la situación A, en que se considera el movimiento después que ha dejado de actuar la fuerza externa y, por tanto, sólo actúa la de gravedad, su masa tampoco determina las características del movimiento ni, en consecuencia, la altura máxima. En este sentido, los estudiantes deben comprender, como ya señalamos en la parte correspondiente a la formulación de hipótesis, que la fuerza de gravedad crece con la masa de los cuerpos, pero lo hace en la misma proporción que la inercia de ellos, de tal modo que el efecto neto de ambos factores sobre el movimiento es nulo. Por otra parte, es necesario subrayar, que si bien en el resultado hmáx = vo2/2g, puesto que no se consideró el proceso de lanzamiento, no aparecen explícitamente expresadas las dependencias de la altura máxima con la masa del cuerpo, la magnitud de la fuerza externa y la distancia recorrida bajo la acción de dicha fuerza, estas dependencias se hallan implícitamente contenidas en la velocidad inicial vo, la cual resume en sí el proceso de lanzamiento. Esta conclusión debe ser clarificada solicitando a los estudiantes que consideren cómo depende vo de las magnitudes indicadas y, en particular, que analicen casos límite, como Fext = 0 , m ® ¥ , ho = 0, etc.

 

Por supuesto, alcanzado este punto los estudiantes pueden solicitar al profesor los datos que precisen para obtener un valor numérico (vo y g en un caso y m, Fm, g y ho en el otro). En ciertos problemas, resulta también interesante que éstos imaginen los datos con objeto de que se habitúen al manejo de valores plausibles.

 

Pero, al igual que ocurre en una verdadera investigación, el proceso de resolución del problema da lugar a una serie de nuevas interrogantes. Así pues, el siguiente aspecto a tener en cuenta sería:

 

* Considerar las perspectivas abiertas por la investigación realizada, contemplando, por ejemplo, el interés de abordar la situación a un nivel de mayor complejidad, sus implicaciones teóricas (profundización en la comprensión de algún concepto) o prácticas (posibilidad de aplicaciones técnicas), la posibilidad de contrastar experimentalmente los resultados obtenidos. Concebir, muy en particular, nuevas situaciones a investigar, sugeridas por el estudio realizado.

 

Con el fin de facilitar la solución del problema planteado -e incluso de hacerla posible-, a lo largo del proceso de resolución ha sido necesario ir acotando la situación estudiada, imponiendo así una serie de condiciones simplificatorias. Ahora es el momento de analizar la situación a un mayor nivel de complejidad.

 

La solución obtenida en el caso A, en que el cuerpo se considera ya en movimiento con cierta velocidad, muestra, en concordancia con las hipótesis planteadas inicialmente, que la altura máxima es independiente de la masa del cuerpo. Por su parte, la solución correspondiente al caso en que el movimiento del cuerpo se considera desde su posición de reposo, pone de manifiesto una dependencia inversa de la altura máxima con respecto a la masa del cuerpo, lo que también está de acuerdo con las hipótesis formuladas durante el análisis cualitativo en este modo de representarse la situación. Sin embargo, una sencilla experiencia, como la que consiste en lanzar hacia arriba alternativamente un cuerpo "pesado" (p.e., una pequeña esfera de acero) y otro "ligero" (p.e., una pelota de tenis de mesa o, simplemente, un pedazo de papel arrugado) desmiente, en este caso, ambos resultados. El análisis de esta cuestión conduce a los estudiantes a la conclusión de que la causa de esta contradicción es el no haber tomado en consideración la fuerza de rozamiento con el aire, abriéndose así la perspectiva de una nueva investigación.

 

Como se recordará, otra de las simplificaciones realizadas en el caso que se consideró el movimiento del cuerpo a partir de su posición de reposo, consistió en representar la fuerza que actúa sobre él por una fuerza media. Esto, que en su momento hizo posible la resolución del problema, tiene, indudablemente, importantes limitaciones desde el punto de vista práctico. Como ya hemos señalado, en la práctica, cualquiera que sea el origen de la fuerza que actúa sobre los objetos que son lanzados, su magnitud es siempre variable. La solución completa del problema requiere por tanto, conocer la forma concreta en que la fuerza depende de la posición del cuerpo. Esto puede ser relativamente simple, como en el caso que la fuerza es ejercida por medio de un resorte y es posible expresar la dependencia a través de una ecuación (F = -kx), o más complejo, como cuando la fuerza se ejerce por los gases de la pólvora inflamada en un cañón y la dependencia se expresa en forma de tabla; en el primero de estos casos, la resolución continúa admitiendo un enfoque análitico, en el segundo, en cambio, exige un enfoque numérico.

 

Las simplificaciones realizadas en el proceso de resolución de problemas generalmente están determinadas, como ya hemos señalado, por la necesidad de acotar las situaciones estudiadas para facilitar la búsqueda de la solución; en tales casos se imponen de un modo consciente. Pero, en ocasiones, ciertas simplificaciones están implícitas ya en la propia situación concreta que se considera, lo que puede conducir a que el análisis realizado no sea suficientemente profundo. En particular, al abordar problemas relativos a cuerpos que son lanzados desde la Tierra suele asumirse, implícitamente, que ésta es inamovible. Esto conduce a la idea en principio errónea, por ejemplo, de relacionar la energía mecánica del sistema cuerpo-Tierra, tanto potencial como cinética, sólo con el cuerpo que es lanzado. Cabe pues, con el fin de profundizar en los conceptos en construcción, preguntar a los estudiantes cuál será la altura máxima alcanzada por el cuerpo en caso de que su masa fuera comparable con la del cuerpo desde el cual es lanzado.

 

Una posible investigación sugerida por el estudio realizado consistiría en analizar si los resultados obtenidos continúan siendo correctos cuando se incremente muy notablemente, en uno de los casos (hmáx = vo2/2g), la velocidad de lanzamiento del cuerpo y en el otro caso (hmáx = Fextho/mg), la fuerza externa que actúa sobre él. El análisis de esta cuestión lleva, por una parte, a considerar en el proceso de resolución la variación de la intensidad de la gravedad con la distancia recorrida por el cuerpo y, por otra parte, a los conceptos de primera y segunda velocidades cósmicas, lo cual puede ser de especial interés para los estudiantes en la actualidad.

 

Algunos de estos y otros estudios son sugeridos por los grupos de estudiantes o pueden serlo por el propio profesor. Conviene resaltar la importancia de esta tarea de concebir nuevos problemas, una tarea generalmente ausente en la enseñanza habitual de la física y que la nueva orientación de la resolución de problemas que estamos presentando posibilita y demanda. Los equipos de estudiantes se muestran realmente muy creativos y conciben situaciones problemáticas interesantes. Su actividad se aproxima así a la riqueza de una investigación fructífera (aquella que genera más problemas que resuelve), frente a la cual la habitual "resolución" de problemas aparece como un simple ejercicio de aplicación sin apenas valor formativo ni interés.

 

Pero la nueva orientación del tratamiento de situaciones problemáticas posibilita todavía otro enriquecimiento de gran importancia: la incorporación de la actividad experimental, rompiendo con la clásica separación entre "teoría", "resolución de problemas" (de lápiz y papel) y "prácticas de laboratorio". Nos referiremos brevemente a esta cuestión en el siguiente apartado.

 

 

4. DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LÁPIZ A LAS PRÁCTICAS DE LABORATORIO.

 

El modelo de resolución de problemas que estamos presentando incorpora, como hemos visto, aspectos clave de la actividad científica, desde la misma formulación de problemas precisos, a partir de situaciones problemáticas abiertas o la formulación de hipótesis fundamentadas, al análisis de los resultados y la consideración de las perspectivas abiertas. Pese a ello podría pensarse que este modelo sigue estando lejos de una auténtica investigación científica, en la medida en que no incluye el trabajo experimental.

 

No estamos de acuerdo, por supuesto, con esta exigencia de contrastación experimental directa como condición sine qua non para calificar una investigación de científica: pensemos, por ejemplo, que al analizar unos resultados a la luz del cuerpo de conocimientos aceptado por la comunidad científica -como hemos hecho en el problema descrito a título de ejemplo- estamos haciendo uso de todo el trabajo, teórico y experimental, realizado para establecer dicho cuerpo de conocimientos. Ello hace innecesario muchas veces una contrastación experimental directa. Sin embargo, es indudable que la concepción de diseños experimentales adecuados y la realización misma del trabajo experimental constituyen actividades con exigencias específicas que es necesario contemplar también en la formación científica de los estudiantes. No es lo mismo, digamos, considerar -como se hace en un problema de lápiz y papel- que la fricición es despreciable, que lograr que lo sea en un experimento real. Y no es lo mismo conjeturar que la altura alcanzada por un proyectil depende de la velocidad de lanzamiento, que idear y montar el dispositivo para lanzar el proyectil y medir las velocidades de lanzamiento y las alturas alcanzadas.

 

Los diseños experimentales, en definitiva, ponen en juego la imaginación práctica, la precisión en las medidas, etc, que constituyen, sin duda, requisitos fundamentales en muchas investigaciones científicas. Cabe pensar que estos aspectos ligados a la actividad experimental puedan desarrollarse en las prácticas de laboratorio, mientras los problemas de lápiz y papel, remodelados en la forma que hemos propuesto, potencien otros elementos igualmente esenciales. Sin embargo, en la medida misma en que hemos devuelto a las hipótesis su lugar central para orientar el tratamiento de las situaciones problemáticas, queda abierta la posibilidad de una contrastación experimental. Así, unas conjeturas como las que resume la expresión hmáx = f(vo, g) pueden contrastarse -tal como hemos hecho- mostrando su coherencia con el cuerpo de conocimientos establecido, pero también, concibiendo un diseño adecuado y realizando las medidas pertinentes.

 

En el problema que hemos contemplado, por ejemplo, los estudiantes comprenden las dificultades que entraña el control y la medición de las distintas variables cuando se realiza un lanzamiento vertical. Ello les lleva a buscar diseños alternativos y conciben la posibilidad de un lanzamiento sobre un plano inclinado (digamos, un carrito sobre rieles), que simplifica bastante la medida de la altura alcanzada, permite variar el valor de la "intensidad del campo gravitatorio" (es decir, de su componente en la dirección del plano), etc.

 

Es necesario insistir, sin embargo, que aún cuando los estudiantes hayan ideado un montaje como el del plano inclinado, llegando así a una estrategia de resolución, al parecer plausible, todavía quedan innumerables cuestiones por resolver: cómo hacer despreciable la fricción entre el cuerpo y el plano, cómo medir la velocidad inicial, cómo tener en cuenta la componente de la aceleración de la gravedad en la dirección del plano, etc.

 

Consideraremos, a modo de ejemplo, una de estas cuestiones, la relativa a la medición de la velocidad inicial. En esta elección hemos tenido en cuenta la posibilidad de realizar dicha medición utilizando una microcomputadora y otros materiales simples, por cuanto desde una perspectiva actual, los intentos de aproximar el aprendizaje de la física a la actividad investigativa no pueden dejar de considerar los cambios que esta nueva tecnología ha producido en las formas del trabajo científico y, en particular, aquellos vinculados a su utilización como instrumento en la resolución de problemas (Valdés y Valdés 1994b).

 

El grado de independencia con que los estudiantes enfrentan la solución de este problema, obviamente depende de los conocimientos y experiencia previa que posean. En este caso es suficiente que conozcan la idea en que se basa el registro de la información digitalizada que procede del exterior, el funcionamiento de un sensor óptico y la posibilidad que él ofrece de medir tiempo con elevada exactitud. Varios años de ensayos en institutos preuniversitarios muestran que, con estos elementos en mente, los estudiantes son capaces de elaborar estrategias para responder a la pregunta ¿cómo medir la velocidad de un móvil empleando una microcomputadora? (Valdés y Valdés 1994a). Básicamente, la estrategia que proponen consiste en determinar el tiempo que demora el cuerpo en atravesar una "barrera de luz"; pero incluso esta pregunta, que constituye sólo una pequeñísima parte dentro del problema general del diseño del experimento, genera, cuando se trata de precisar la respuesta, una serie de dificultades (por ejemplo, a partir del tiempo de paso del cuerpo a través de la "barrera" y de su longitud, sólo es posible determinar una velocidad media) y diversas alternativas de solución, poniéndo así de manifiesto, una vez más, la riqueza que caracteriza el proceso de planificación de un experimento incluso tan "simple" como éste.

 

Cabe destacar que la computadora constituye un valioso instrumento no sólo para registrar información digitalizada y medir diferentes magnitudes, sino también para procesar los datos obtenidos. Por ejemplo, los pares de datos hmáx , vo pueden ser introducidos en la "hoja de cálculo" de un programa informático como EXCEL y luego, en pocos segundos, situar los puntos hmáx , vo2 en un sistema de ejes cartesianos, trazar la recta que mejor se ajusta a ellos y obtener la ecuación de dicha recta. La computadora facilita, por otra parte, el análisis de los resultados. Así, en el experimento que estamos examinando tiene especial interés, además de verificar las relaciones de dependecia expresadas en la ecuación hmáx = vo2/2g, comprobar la independencia de la altura máxima con respecto a la masa del cuerpo, puesto que, como ya hemos señalado varias veces, ésta es una cuestión especialmente discutida por los estudiantes. No obstante, lanzar por ejemplo, cuerpos de diferentes masas con iguales velocidades iniciales sobre el plano inclinado, a fin de verificar si en tal caso las distancias que ellos alcanzan son también iguales, es algo sumamente difícil de lograr en la práctica. Esta dificultad puede ser superada, sin embargo, si a partir de las dependencias hmáx = f( vo2) obtenidas mediante la computadora para cuerpos de diferentes masas -ya sea en forma gráfica o de ecuación- se determinan, y luego se comparan entre sí, las distancias correspondientes a iguales valores de velocidad.

 

Aunque hemos analizado sólo un "fragmento" del proceso de diseño, nos parece que es suficiente para apreciar las posibilidades que éste ofrece para que los estudiantes desarrollen su experiencia investigativa, creadora. Por otra parte, hemos mostrado, pensamos, la posibilidad de transformar los habituales ejercicios cerrados de lápiz y papel en situaciones problemáticas cuyo tratamiento incorpora los aspectos esenciales de la actividad científica, incluida la contrastación experimental. Se derriba así la barrera que separa dos de las actividades básicas en el aprendizaje de la física: la resolución de problemas y las prácticas de laboratorio. Y ello no sólo porque los problemas de lápiz y papel puedan incorporar, como hemos dicho, la actividad experimental, sino también porque las prácticas de laboratorio han sido sometidas a análisis críticos (Gil y Payá 1988) que han cuestionado su orientación habitual de mera ilustración y han dado lugar a propuestas que suponen su conversión en investigaciones científicas, es decir, en tratamiento de problemas, mediante estrategias similares a las que aquí se han descrito (Gil et al 1991, Hodson 1994). Creemos que ello constituye un serio avance en el desarrollo de un modelo de aprendizaje de la física -y, más en general, de las ciencias- acorde con las caracterísiticas del trabajo científico. De hecho la actividad científica no justifica una separación tan rígida como la que se da en la enseñanza entre "teoría", "prácticas" y "problemas".

 

 

CONCLUSIÓN

 

A modo de conclusión resumiremos aquellos aspectos que hemos intentado destacar en el presente trabajo. Ante todo, la idea básica que subyace en él de que, cuando el proceso de resolución de problemas se concibe como una actividad de investigación dirigida, dicho proceso puede representar para los estudiantes, aún en casos tan simples como el que aquí se ha seleccionado (Se lanza un cuerpo hacia arriba, ¿qué altura alcanzará?), una actividad sumamente creativa e interesante, que al propio tiempo contribuye a un aprendizaje significativo y a familiarizarlos con las estrategias del trabajo científico. En efecto, todo el proceso de resolución, desde la representación inicial de la situación, la formulación de hipótesis fundamentadas y la elaboración de diferentes estrategias y diseños, pasando por las posibles contrastaciones de los resultados obtenidos (tanto mediante la utilización del cuerpo de conocimientos teóricos como experimentalmente) y el análisis de ellos, hasta llegar a la consideración de otras posibles cuestiones a investigar y la elaboración de una memoria que contribuya a integrar y sintetizar los diversos aspectos estudiados, constituye un complejo proceso, que nada tiene que ver con la simple manipulación de datos iniciales, ecuaciones e incógnitas, a que se reduce la resolución de problemas habitualmente. Por otra parte, hemos mostrado que con semejante enfoque, pierde todo sentido la rígida distinción habitual entre resolución de problemas de lápiz y papel y prácticas de laboratorio y los estudiantes se enfrentan, en cambio, a una única actividad investigativa, compleja, multiforme, que integra en sí, tanto elementos teóricos como prácticos.

 

 

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